Del blog "la sangre del león verde"

lunes, abril 30, 2007
La paradoja del mentiroso


¿Qué es una paradoja?

Etimológicamente "paradoja" proviene del griego "parádoxa" y significa, literalmente, "contrario a la opinión". Por lo tanto, a un nivel etimológico podemos decir que la paradoja se opone a la opinión común o heredada. De aquí que Cicerón dijera "Lo que ellos [se refiere a los griegos] llaman paradoxa nosotros lo llamamos `cosas que maravillan´". Bajo la perspectiva etimológica las afirmaciones de Platón de que los hombres y las mujeres debían de poder gobernar, por igual, en la ciudad ideal resultaban paradójicas en el contexto social en el que se hicieron.

Un uso diferente del término paradoja es el de "antinomia". Una antinomia se produce cuando dos proposiciones son contradictorias entre sí pero las razones que las apoyan son igualmente validas y fundamentadas. Las antinomias fueron un recurso habitual entre los escépticos y los sofistas para mostrar la inutilidad de la razón del hombre para conocer la verdad. A este respecto se cuenta la anécdota ocurrida en 155 a.J en la que Carneades, como embajador ateniense en Roma, habló un día convincentemente a favor de la justicia y al siguiente en su contra. Más famosas aún son las antinomias kantianas que muestran la imposibilidad de ciertos conocimientos sobre el mundo como si es eterno o tiene principio en el tiempo, si existe la libertad en él o no, etc. Probablemente se puedan considerar de este tipo las paradojas de Zenón ("Aquiles y la tortuga" por ejemplo) en donde la argumentación sostiene una cosa y la experiencia aparece como contradictoria a ella.
Un tercer uso de "paradoja" es el que señala como paradójico un conflicto entre criterios de clasificación. Cuando un elemento no cae dentro de ningún sistema clasificatorio se puede decir que es un objeto paradójico. En un primer momento, por ejemplo, el ornitorrinco fue un animal paradójico ya que no entraba, aparentemente, en ninguna clasificación taxonómica conocida. Otro ejemplo a la orden del día son los efectos paradójicos que se muestran en ciertos fenómenos quánticos que presentan, al mismo tiempo, características ondulatorias y corpusculares.

En cuarto y último lugar nos encontramos con el significado lógico-semántico del término paradoja. Una paradoja, en este sentido, se produce cuando una correcta formulación matemática o lingüística, lógicamente formalizable, lleva a una contradicción o a la imposibilidad de que se le atribuya algún valor de verdad. La paradoja del mentiroso es un típico ejemplo de esta clase de paradoja que se encuentran ya desde la Antigüedad y Edad Media. Este cuarto tipo de paradoja se pueden clasificar a su vez en varias categorías. Quine, sin ir más lejos, distingue entre "paradojas verídicas" y "paradojas falsídicas". En las primeras lo que se propone establecer es verdadero y en las segunda, falso. La distinción entre "paradojas falsídicas" y falacias es que las falacias pueden conducir tanto a conclusiones verdaderas como falsas. Otra distinción de las falacias lógico-semánticas es: "paradojas lógicas", "paradojas semánticas" y "paradojas de la confirmación".

La paradoja del mentiroso

Parece ser que la primera formulación de la paradoja del mentiroso tal y como la conocemos hoy en día se la debemos a Eubúlides de Mileto, de la escuela megárica, que floreció hacia el 350 antes de nuestra era (a Eubúlides se le atribuyen la formulación de otros argumentos sofísticos y paradojas como el sofisma del cornudo, la paradoja del calvo o la del montón). La formulación de la paradoja del mentiroso que se le atribuye es la siguiente:

" Si afirmo que estoy mintiendo, ¿miento o digo la verdad?"

Analizando esta frase observamos que:

+ Si lo que la oración "estoy mintiendo" dice es verdadero, entonces es verdadero lo que afirma y lo que afirma es que está mintiendo. Por lo tanto tendríamos que concluir que si suponemos que la frase "estoy mintiendo" dice la verdad incurrimos en una contradicción.
+ Si suponemos que la oración "estoy mintiendo" es falsa, entonces es falso lo que afirma y como lo que afirma es que está mintiendo tendríamos que concluir que dice la verdad. De nuevo, si suponemos que la frase "estoy mintiendo" es falsa caemos en una contradicción.

La paradoja preocupó mucho a los antiguos y la tradición dice que Teofrasto, el discípulo de Aristóteles, escribió tres libros sobre el tema y que Crisipo de Soli, filósofo estoico del siglo III a.J., la estudió en numerosos tratados. Otra anécdota que se suele contar relacionada con esta paradoja es que Filetas de Cos, poeta y filólogo alejandrino de los siglos III y II a.J., murió por no haberle sabido dar solución; dice su epitafio:

Soy Filetas de Cos
Me hicieron morir el Mentiroso
y las noches de insomnio por su causa

(fuente: Benson Mates; Lógica de los estoicos; Madrid, Tecnos 1985, p. 78)

En el nuevo testamento Pablo de Tarso se refiere seguramente a esta paradoja en la versión de Epiménides (ver más adelante), cuando dice: "12 Uno de ellos, profeta suyo, dijo: `Los cretenses son siempre mentirosos, malas bestias, vientres perezosos´. 13 Este testimonio es verdadero." (Epístola a Tito 1, 12-13).

Existen formulaciones mucho más sencillas de esta paradoja, por ejemplo: "esta oración es falsa" o "estoy mintiendo". También se puede construir esta paradoja de modo que una afirmación no se refiera directamente a su propio valor de verdad, esto es importante ya que cuestiona los intentos de resolución de la paradoja a través de la distinción entre lenguaje y metalenguaje. Un ejemplo de estas construcciones sería las dos frases que vienen a continuación: "La siguiente oración es cierta. La anterior oración es falsa".

La paradoja del cretense o de Epiménides:

Se suele considerar esta paradoja como una versión de la paradoja del mentiroso pero en su formulación más simple no lo es. Vamos a explicarla en su versión correcta y después en su popular errónea.
Epiménides de Cnosos fue un profeta y sabio griego del siglo VI a.J. probablemente asociado a tradiciones chamánicas de Asia Central: los tatuajes que le atribulle Pausanias y el largo sueño de 57 años (50 según Plutarco) en una cueva bendecida por Zeus parecen apoyar esta hipótesis. A él le es atribuido el siguiente dilema (Nota: definiremos mentiroso como aquella persona que miente siempre): Todos los cretenses son unos mentirosos, Epiménides, el cretense, dice "Los cretenses son unos mentirosos". Lo que dice Epiménides es verdadero o falso. En este caso la paradoja es similar a la del mentiroso:

+ Si Epiménides dice la verdad entonces es un cretense que no es mentiroso, lo que es una contradicción manifiesta.
+ Si Epiménides miente entonces entra en contradicción con el supuesto inicial de que "todos los cretenses mienten".

Efectivamente así la paradoja está bien formulada aunque es algo compleja y no del todo similar a la paradoja del mentiroso. El problema es que, tal y como se presenta vulgarmente, la paradoja es del tipo falsídico de Quine. Veámoslo.
Se suele presentar la paradoja del cretense de la siguiente manera: "Epiménides es cretense y dice que todos los cretenses mienten, ¿dice la verdad Epiménides o está mintiendo?". Aunque es evidente que no puede decir la verdad ¡Epiménides podría estar mintiendo perfectamente! He aquí la explicación:

+ Epiménides no podría decir la verdad ya que si dijese la verdad todos los cretenses mentirían y el es cretense; luego diría algo verdadero y falso al mismo tiempo.
+ Pero Epiménides podría estar mintiendo y su afirmación "todos los cretenses mienten" ser falsa. Lo contrario a "todos los cretenses mienten" es que (por definición formal del cuantificador universal) "algunos cretenses no mienten"; luego podría ser que Epiménides fuera un mentiroso pero hubiera algún cretense (bastaría con uno) que dijese la verdad, la única condición que debería cumplir este cretense es, repetimos, no ser Epiménides.

El error de esta formulación es suponer que la falsedad de "todos los cretenses mienten" implica la verdad de "todos los cretenses dicen la verdad" pero esto no es así. El enunciado "todos los leones viven en África" es falso en el momento en el que haya un sólo león viviendo fuera de África; es decir, no es necesario que todos los leones vivan fuera de África para que la afirmación "todos los leones viven en África" sea falsa. Lo mismo ocurre con "todos los cretenses mienten".
Lo anterior debemos tenerlo en cuenta a la hora de formular esta paradoja. De la primera manera la paradoja es correcta, aunque algo compleja, de la segunda manera es sólo una apariencia de paradoja.

La paradoja del barbero o de Russell:

Esta paradoja, como se verá, no es como la paradoja del mentiroso pero tiene el mismo resultado final: no se le puede asignar un valor determinado a una afirmación sin incurrir en una contradicción. En la paradoja del mentiroso no podíamos decir que la proposición "Esta oración es falsa" fuera ni verdadera ni falsa ya que en un caso u otro caeríamos en una contradicción; en la paradoja de Russell no podemos decir si el conjunto de todos los conjuntos normales es normal o singular, pero antes paso a explicar que significa conjunto normal y conjunto singular.
Los conjuntos son normalmente conjuntos de cosas. Estos conjuntos son "conjuntos normales" y su principal característica es que no se contienen a sí mismo. Por ejemplo, el conjunto "Letras" no se contiene a sí mismo ya que el conjunto "Letras" no es una letra. También existen conjuntos de conjuntos pero siguen siendo normales si cumplen el requisito de no contenerse a sí mismos. Pero ¿cómo puede un conjunto contenerse a sí mismo? Muy sencillo, pongamos el caso del conjunto de los objetos que no son animales y llamémosle H; como H no es un animal sino un conjunto podemos incluir a H dentro de sí mismo. Al contenerse a sí mismo decimos que H es un conjunto singular. Un conjunto singular, por lo tanto, es un conjunto que se contiene a sí mismo.
Ahora tomemos al conjunto N que es el conjunto de todos los conjuntos normales. Preguntamos ¿es este conjunto normal o singular? La paradoja es la siguiente

+ Si N fuera normal entonces no se podría contener a sí mismo por la definición de conjunto normal pero en la definición de N se dice que es el conjunto de todos los conjuntos normales. Luego si N fuera normal debería contenerse a sí mismo y no contenerse.
+ Si N fuera singular entonces se contendría a sí mismo en su conjunto por definición de conjunto singular pero en la definición de N se dice que es el conjunto de todos los conjuntos normales y por lo tanto no se puede contener a sí mismo, que es, bajo este supuesto, un conjunto singular. Luego si N fuera singular debería contenerse a sí mismo y no contenerse.

Esta paradoja fue descrita por Russell en 1901 para demostrar que la teoría de conjuntos de Frege y Cantor es contradictoria.
Esta paradoja se denomina también paradoja del barbero por su formulación en términos más populares que dice así:

"Un barbero en un pueblo afeita a todos los hombre que no se afeitan por sí mismo, ¿el barbero se afeita a sí mismo?"

Resolución posible de la paradoja del mentiroso:

Ya Pablo de Venecia (?1372-1429), vicario provincial y más tarde general de la Orden de los ermitaños de San Agustín, dio una lista de 14 soluciones para la paradoja del mentiroso, a las cuales añadió una decimoquinta solución propia en la que diferenciaba entre las significaciones sin cualificativo (expresiones que significan lo que significan y nada más) y las significaciones precisas y adecuadas (expresiones que significan asimismo que son ellas mismas verdadera).
La solución de Pablo de Venecia tiene que ver con la solución más aceptada hoy en día basada en la teoría de los lenguajes y metalenguajes. Esta teoría distingue entre un lenguaje, el metalenguaje de este lenguaje, el metalenguaje de este metalenguaje y así sucesivamente. La paradoja de la oración "esta frase es mentira" queda eliminada cuando consideramos que "es verdadera" o "es falsa" no pertenecen al mismo lenguaje en el que está escrito "esta frase es mentira" sino a su metalenguaje. Por esta razón la paradoja del mentiroso y las paradojas análogas reciben el nombre de paradojas metalógicas.
El problema de esta solución es que por un lado, tiene la apariencia de construcción ad hoc para librar esta paradoja. Se crea un metauniverso para salvar la coherencia lógica de este universo pero esta solución es arriesgada (pensemos en la crítica aristotélica al mundo de las Formas de Platón) y arbitraria. Este metalenguaje es una construcción teórica que es criticada por muchos lingüistas ya que parece que más que resolver la paradoja la escamotea con esta construcción "meta".
Por otro lado, aún cuando esta hipótesis fuera correcta podría servir para disolver la paradoja de afirmaciones como "miento" pero no para otras formas de la paradoja como las formulaciones no autoreferenciales de la paradoja del mentiroso o paradojas como la del barbero que tampoco hacen referencia a sí mismas.
Esta paradoja que parece, en principio, tan intrascendente a efectos prácticos ha tenido consecuencias importantes en la axiomatización de las matemáticas en el siglo XX. Analizando los sistemas axiomáticos dependientes del programa de Hilbert, Gödel descubrió que en cualquier formalización consistente de las matemáticas lo suficientemente amplia para contener los números naturales Gödel mostró que se puede construir al menos una afirmación que ni se puede refutar ni demostrar dentro del sistema. De hecho lo que consiguió Gödel es construir dentro de un sistema formal una declaración p que enunciaba "esta declaración no se puede probar"; obviamente, una versión de la paradoja del mentiroso en donde p no puede tener valor de verdad alguno; esto tiene como consecuencia que los proyectos consistentes de axiomatización de las matemáticas que sean tanto o más complejos como para contener los números naturales sean incompletos. El primer teorema de Gödel tiene importantes consecuencias teóricas y prácticas y es, probablemente, uno de los aportes más interesantes a las matemáticas en el siglo XX.
Fuentes:

Wikipedia
Diccionario de Filosofía Ferrater Mora
Diccionario Oxford de Filosofía
Diccionario de Filosofía Herder
Manuel Garrido; Lógica simbólica; Tecnos




RecopilSobre mi

Fulgencio Robledero
Vida y muerte son importantes, no las sufras en vano. No hay nada ventajoso en engañarte a ti mismo. Aunque cuentes con montañas de joyas y con tantos sirvientes como granos de arenas hay en el Ganges, sólo los ves cuando tienes los ojos abiertos. Pero ¿qué pasa cuando los cierras? Debes comprender que todo lo que ves no es sino un sueño o ilusión. "Tratado sobre el linaje de la fe"